Bases de Wavelets B-Spline en el Intervalo con Condiciones de Dirichlet Homogéneas

Abstract

La teoría de wavelets se ha estudiado y desarrollado intensamente en los últimos años. Las buenas propiedades de aproximación, localización y soporte compacto que tienen las funciones wavelets, las convierten en una herramienta favorable para el uso en diversos campos de las matemáticas aplicadas, el análisis numérico y la ingeniería. En particular en la resolución numérica de ecuaciones diferenciales con ciertas condiciones de contorno. Este tipo de problemas requieren bases wavelet con soporte en un intervalo acotado en lugar de funciones definidas en toda la recta real. La construcción de bases wavelet en el intervalo ha sido ampliamente discutida en la literatura y se han desarrollado varios enfoques para adaptar wavelets en la recta real al intervalo. En este trabajo proponemos una base de wavelets B-splines que generan un Análisis multirresolución sobre el intervalo, formadas por wavelets interiores que se obtienen de las traslaciones y dilataciones de una wavelet madre; y wavelets de borde que se obtienen de combinaciones lineales adecuadas de las wavelets interiores. Para diferentes niveles de resolución, las derivadas de estas funciones son ortogonales. Cuando estas bases se aplican en la discretización de ecuaciones diferenciales de segundo orden, utilizando esquemas del tipo Wavelet–Galerkin, conducen a la resolución de sistemas lineales, cuyas matrices son esparcidas, diagonales por bloques y con buen condicionamiento. El número de condición se obtiene a partir de determinar las constantes de Riesz de las bases, y se muestra que se mantiene acotado independientemente del nivel de aproximación.