Identificación de Cavidades mediante la Tomografía de Impedancia Eléctrica: Observaciones Acerca de la Implementación Numérica del Modelo Variacional Usando la Teoría de Discontinuidades Libres

Abstract

La tomografía de impedancia eléctrica (TIE) es una técnica de ensayo no destructivo que estima la distribución espacial de la conductividad eléctrica en el interior de un objeto, a partir de mediciones electrostáticas tomadas en su contorno. Esta técnica puede ser usada también para reconstruir defectos en el interior del objecto, identificando tales defectos como discontinuidades en el campo de conductividad.
Dada una medida de voltaje y corriente en el contorno, la reconstrucción del campo de conductividad es un problema mal condicionado, debido a la falta de continuidad en el mapeo inverso Dirichleta-Neumann. Este mapeo es el que, dado un campo de conductividad con cualquier patrón posible de corriente que pasa a través del contorno, asocia la correspondiente solución de potencial del problema electrostático. La discontinuidad de este operador plantea importantes desafíos en el diseño de algoritmos estables de reconstrucción numérica. Por tanto, se introducen métodos de regularización que restringen el rango del mapeo inverso, de manera de poder computar soluciones aproximadas estables.
En este trabajo abordamos el problema de encontrar cavidades aisladas en un dominio plano, homogéneo y conductor, usando solamente una medición sobre el contorno. Presentamos y discutimos experimentos numéricos de un modelo variacional de reconstrucción de cavidades, el cual es una ligera variación de uno propuesto en (L. Rondi, J. Diff. Eq., 251:150-175 (2011)). El modelo usa, como término de regularización, el perímetro de los defectos a determinar . Para su tratamiento numérico, el funcional de perímetro es reemplazado por funcionales elípticos que lo aproximan en el sentido de la convergencia, según resultados dados en (L. Modica and S. Mortola, Boll. Un. Mat. Ital., 14:526-259 (1977); L. Modica, Arch. Rational Mech. Anal., 98:123-142 (1987)). Para la minimización del funcional regularizado, que presenta el potencial eléctrico sujeto a una ecuación de estado que describe la difusión eléctrica, usamos un algoritmo de minimización de tipo gradiente como el introducido en (W. Ring and L. Rondi, Interf. and Free Bound., 13:353-371 (2011)). Los experimentos numéricos son llevados a cabo usando datos sintéticos para las mediciones de contorno, y son comparados con aquellos que se obtienen mediante la aplicación de un método clásico de reconstrucción, basado en la regularización de Tikhonov.